Sunday, 18 May 2014

objeto cuadridimensional

esta mañana al despertarme pensé: porqué no construyo un objeto cuadridimensional?
de hecho es una idea que tenía desde hace bastante tiempo.
las cuatro dimensiones son imposibles de concebir para nuestro cerebro tridimensional, pero por analogía se puede llegar a una representación teórica de un objeto cuadridimensional correcta.

de hecho la representación de un objeto tridimensional en una superficie a dos dimensiones es una cosa a la cual estamos bien acostumbrados. aquí a la derecha podéis ver un buen ejemplo: el cubo.
el cubo que veis aquí no es un cubo de verdad, obviamente, sino una representación bidimensional representada axonométricamente en la cual dos caras son representadas exactamente de frente y las otras cuatro están deformadas para dar un efecto visual de profundidad.

si esto se puede hacer de tres a dos dimensiones, seguro que lo mismo se puede hacer de cuatro a tres dimensiones también.

lo único que pasará es que no podremos concebir exactamente la "profundidad" de la cuarta dimensión, pero la representación no dejará de ser correcta: se tratará de una axonometría tridimensional de un "hiper-cubo".

vamos a ver pues como sería esta representación:
primero decir que en cada punto deberán salir 4 lineas de las cuales 3 seguirán los ejes X, Y, Z de nuestro espacio y otra será deformada a 45º, como pasa en las axonometrías en general, o sea que se "chafa" una dimensión representándola deformada (por ejemplo a 45º).
queda claro que en la 4 dimensión las 4 lineas que salen de cada vértice serían todas perfectamente perpendiculares entre ellas.
como regla axonométrica podemos decir que mantenemos las dimensiones de todos los lados así como son, sin modificarlas.

dicho esto vamos a ver por analogía como tendrá que ser un objeto cuadridimensional:
en 0 dimensiones tengo 1 punto
en 1 dimensión tengo 2 puntos unidos por 1 linea
en 2 dimensiones tengo 4 puntos unidos por 4 lineas que dan 1 cuadrado
en 3 dimensiones tengo 8 puntos unidos por 12 lineas que dan 6 cuadrados que forman 1 cubo.
en 4 dimensiones tendré 16 puntos unidos por 32 lineas que dan 24 cuadrados que forman 8 cubos que nos da 1 hiper-cubo.

la secuencia de números aquí arriba se puede entonces resumir en este triángulo de interrelaciones numéricas en el cual es fácil reconocer muchas secuencias aritméticas en lineas rectas y diagonales.

-   1
-   2    1 
-   4    4    1
-   8    12   6    1
-   16  32  24   8    1

otra cosa que podemos notar observando el cubo en dos dimensiones es que hay 2 cuadrados exactos e  iguales mientras que el resto de cuadrados está deformado para que se junten todos los lados. de hecho todos los cuadrados tienen todos los lados en común que se juntan y se cierran entre ellos.
así que para nuestra representación tridimensional del hiper-cubo representaremos 2 cubos exactos e iguales mientras que el resto de cubos estará deformado para que junten todos los cuadrados. de hecho todos los cubos tienen todos los cuadrados en común que se juntan y se cierran entre ellos.

así que hay que compenetrar 8 cubos de modo que compartan en todo momento todos sus lados. eso quiere decir que en todo momento cada cara del hiper-cubo está compartida por dos cubos.

de todas maneras si estas analogías no os convencen, ni de manera serial-aritmética, ni de manera conceptual-analógica, podemos hacerlo más claro y más fácil, de manera gráfica, y es así:

cero dimensiones: 
tenemos un solo punto.
una dimensión:
creamos otro punto distanciado del primero según la nueva dimensión y los unimos con una linea y obtenemos una linea.
dos dimensiones:
creamos otra linea distanciada de la primera según la nueva dimensión y las unimos con dos lineas y obtenemos un cuadrado.
tres dimensiones:
creamos otro cuadrado distanciado del primero según la nueva dimensión y los unimos con 4 lineas (4 cuadrados) y obtenemos así un cubo.
cuatro dimensiones:
creamos otro cubo distanciado del primero según la nueva dimensión y los unimos con 8 lineas (12 cuadrados, 6 cubos) y obtenemos así un hiper-cubo.

puede ser que mis analogías confundan, pero al representarlas gráficamente resulta más claro:


la última imagen es entonces una representación del hiper-cubo!
lo demuestra también el hecho que es una figura que está compuesta por 8 cubos, cada uno de los cuales comparte todos sus lados con otro cubo. la representación es bidimensional y por eso mucho más difícil de pillar, pero aquí os enseño cuales son los 8 cubos del hiper-cubo:


pero el dibujo aqui arriba es una representación muy difícil de imaginar especialmente por el hecho de ser un objeto en 4 dimensiones representado en 2 dimensiones, o sea que le falta la mitad de dimensiones! estamos quizás exagerando! jeje.
mucho más interesante es hacer una axonometría tridimensional del hiper-cubo! y yo lo intenté esta mañana, de manera poco profesional, lo admito, pero bueno, aquí la tenéis y a pesar de que no sea un gran ejemplo de precisión constructiva, es correcta en su estructura general:




es obvio que incluso así la cuarta dimensión resulta ser completamente inimaginable, pero la axonometría tridimensional es técnicamente correcta. por otro lado es curioso notar como cada cara de un cubo tiene una cara opuesta que es la única que no consigue tocar (así como en un cuadrado hay dos lineas opuestas que no se tocan) y es exactamente allí, entre las caras opuestas, que se extiende el volumen de la tercera dimensión (como en el cuadrado es entre las lineas opuestas que extiende la superficie de la segunda dimensión). está por eso claro que, en esta representación abstracta de la cuarta dimensión el nuevo "hiper-volumen" inconcebible se encontraría entre los cubos opuestos que no comparten caras.
en el dibujito de arriba los cubos opuestos son el 1 y el 2, el 3 y el 4, el 5 con el 6 y el 7 con el 8. pues es ahí, de una manera fuera de nuestro alcance intelectivo, que se esconde la cuarta dimensión.

así que nada, ya tenemos una idea de un objeto cuadridimensional! que bueno, no?
jeje
eso es todo! ciao!!


1 comment:

  1. La geometría no euclidiana es básica para entender el universo, la cosa se complica con n dimensiones, las supercuerdas y todo lo demás...pero eso es harina de otro costal.

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